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曼德勃罗:复杂构造与分形

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分形是大自然的语言,分形几何填补了欧几里得几何两千多年来的空白,提供了新的描述自然的方式。


无限复杂的现象背后有着极其简单的规则。


简化的形状是人工的非自然的产物,人类天然对”的感知来源于不同尺度上的复杂结构。


一、混沌与分形

 

20世纪50年代,一群生物学家在一个十分简单的自然现象中看到了混沌。

设想一个岛上有一定数量的羊。随着新出生的小羊,每年羊群的数量会翻一倍,构成了一个xn+1 = 2xn的线性系统。这样下来很快这群羊就会占满整个岛屿。但由于食物资源有限,当羊的数量超过一定数值的时候死亡率就会上升,导致羊群的数量始终上不去,此时它构成了一个自我抑制的非线性系统(xn+1 = R(1-xn), R代表增长率的参数)。这时候每年羊群的数量更可能是一个动态的平衡,时高时低、在不断的自我调节,却无法从中找出任何的规律,也无法对羊的数量变化进行长期预言。

生物种群的涨落、天气的变化、噪音的声波、价格的变动都是混乱而无法预测的,这种广泛存在于自然界和人类活动中的无序性便是混沌。事实上,就像是响应某种特殊的感召,许多不同领域的科学家都在同一时期独立发现了混沌。他们之中有数学家、物理学家、经济学家.... 他们在自然界和人类社会活动中都发现了混沌的影子:简单的初始条件带来复杂而不可预见的行为

我们可以说,当一个系统存在自干扰时,就有可能出现混沌。就像在一种特殊的迷宫中行走一样:你每迈出一步,迷宫的墙就自动改组一次,而你的每一步决定都会改变之后将要走的路。这时走出迷宫的路线是无法预测的,它和你行进的路线纠缠在一起。这就是非线性方程的物理意义。

尽管混沌是如此无法预测,难以捉摸,但它却有着特定的结构——分形,即跨越不同尺度的自相似。比如说,如果你观察一天之间股价的涨落,会发现它与一年之间股价的变化图形惊人的相似,两个图形有着同样的粗糙程度和变化幅度。



云朵、树枝、山峦、河流、雪花、闪电..... 大自然的形态中处处都是分形。分形结构的特点是自相似。这种结构具有无穷的纵深——任何小部分被放大后,看起来都与整个图形相似。好像花椰菜的冠,在更小的尺度上不断地模拟自身,无限重复。这样的规则出奇简单,形态又出奇复杂。

最先为分形命名的人是伯努瓦·曼德勃罗(Benoît B. Mandelbrot),他创立了分形几何这门独特的科学。在思考分形几何时,我们可以借助一种怪异的形状—— 科克曲线。取一个等边三角形,然后在每条边的中心长出一个边长为1/3的小三角形,每个小三角形又各自长出一个新的小三角形,如此重复,直至无穷。这个形态很像雪花。



科克曲线


科克曲线的神奇之处在于它在有限面积中拥有无限的长度,这令人想到生物自组织的方式:血管需要在有限的体积里压进尽可能多的长度;为了使内表面面积更大,人类肺部沟沟回回的褶皱展开后有一个足球场的面积。这两个器官都呈现分形结构。不光如此,崎岖粗糙的地表、河流、海岸线,全都符合分形结构的特征。在这个世界上你找不到理想的球体、圆锥、棱柱、立方,却处处看到复杂和不规则。而这个研究枝枝叉叉和粗糙表面的几何学,却是传统欧几里得几何学几千年来所忽略和简化的空白地带。那么,大自然的形状是可以描述的吗?自然界无限复杂又无处不在的构造,真的是人类可以理解的吗?



曼德勃罗利用简单参数(粗糙度D)生成的山峦图形


二、曼德勃罗集


曼德勃罗集的发现要从我们中学时学过的牛顿法讲起。牛顿法又称迭代法,是一种非线性方程的解法。最开始猜测一个x值,再把它代入原方程求解将得到一个更接近的值;经过多次迭代,最终会趋向于一个稳定的值,即方程的真正解。这个过程就像一个动力系统趋向定态一样。但是牛顿法有一个问题,就是多次方程有多个解,迭代的结果趋向于哪个解,和最初猜测的数值有关。然而,最终导向不同解的初始值是如何分布的?人们将这种猜测反映在图像上,于是出现了令人大吃一惊的结果。



牛顿法的复杂边界 


x4-1=0 为例,在复数平面上将导致方程的四个结果(x= 1, x = -1, x = i , x = -i)的初始数值用四种颜色(红,黄, 蓝,绿)表示,会看到大面积的红色(即导致x = 1的初始值的分布区域)和蓝色、绿色、黄色(导致其他三个结果的初始值分布区域);而在这些区域之间却并没有一条明确的分界点,而是在边界处产生了无限的复杂。在这个古怪的图形中,没有任何两个颜色是真正相接触的,看起来紧挨着的两个色域的分界永远夹杂着更小尺度的其他颜色。 

类似地,曼德勃罗集描述的是对x = x2 + c 运用迭代法时,所有使结果不趋近于无限大的复数c的集合。这个集合的边界同样具有无限复杂的性质。依照多次迭代的结果所产生的x值的不同区间,我们可以将对应的c值用不同颜色表示——于是一幅幅色彩丰富繁杂的曼德勃罗图形便生成了。





如果存在终极的复杂,那么曼德勃罗集就是反映这种终极复杂的图像(有兴趣的人可以去看下曼德勃罗集的zoom in视频)。 曼德勃罗集看上去比任何分形还要分形,它具有跨越无限尺度的复杂性。所有人耗尽一生的时间也无法观察它的全貌。如果想要对它的形状进行数学描述,将会需要无穷多的信息。然而,生成这样一个集合却只需要在计算机中输入几十个字符的简单程序。


在三维复空间中生成的曼德勃罗集


是的,最迷人的事情并不是曼德勃罗集呈现出世间最为繁复的美丽图像,而是它来源于一个小学生都会运算的简单方程,一个只包含五个字符的方程

 

三、复杂 


20世纪初的艺术集中体现在提炼与简化上,比如包豪斯的建筑风格、立体主义、色块抽象画等等。简化的艺术在西方可以追溯到保罗·塞尚的归纳法。塞尚提出了“以圆柱形、球形、圆锥形来处理自然”的主张,将欧几里得几何形体理解成大自然一切形象的基本组成元素,从而提纯出简化的造型语言,并由此引发了以简单几何形体分割与重组自然的立体主义。这种结构意识后来演变为启发了现代主义的重要理念之一。但是,照曼德勃罗的观点看来,这样的美学注定不能长久,因为“简单形状缺少人性,它们同自然界组织自身或者人类感官看待世界的方式不能共鸣。”

然而这样的艺术多少反映了十九世纪到二十世纪初西方社会的世界观。那时候科技大幅度发展,使人类获得了前所未有的信心。人们倾向于将自然看做力图征服的对象,看成驯服、分类、使用和被剥削的对象。事实上,从柏拉图的理想型开始,西方人已然习惯于用原理化的方式理解自然。然而随着20世纪中后期相对论、量子力学、混沌等等科学发现,彻底粉碎了人们心目中理想的物理帝国,也改变了人类认知世界的方式。

人们终于意识到,符合直觉的不一定符合自然。几千年来,人类的科学追求简化、寻求规律,我们剔除掉粗糙毛躁,追求理想条件下的实验;我们回避边界,用近似数来进行运算,我们追求对称、光滑、简洁、统一;我们习惯于归纳、概括、简化、却忽略了自然的本质即是复杂,而复杂本身并不存在一个可被提纯出来的简单核心,而是由无数简单的细枝末节组成。

 
行军蚁的复杂行为是每一个蚂蚁的简单行为重复叠加导致的。就像复杂的音乐从一个个简单音符的组合叠加中涌现出来。 


或许我们的思维方式已经在一条错误的道路上走得太久了,对于世界的构造和搭建都可能在根本上就出现了问题。或许连“简单”与“复杂”的定义本身都值得我们去思考——这两种概念,早已不是形式上所能定义的了。

 

本文的引用和参考:詹姆斯·莫雷克,《混沌》;

本文的引用和参考:,《复杂》






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