欧几里德的几何时空

声明：本专栏纸质版每月在《环球科学》杂志刊登，网络电子版经作者授权由蔻享学术在微信公众号上进行网络首发。

弗兰克・维尔切克是麻省理工学院物理学教授、量子色动力学的奠基人之一。因发现了量子色动力学的渐近自由现象，他在2004年获得了诺贝尔物理学奖。

历经两千多年历史，经历了相对论和量子力学革命，古希腊的几何学至今仍在发挥影响。

公元前约300年，古希腊数学家欧几里德写下了他著名的《几何原本》(ELEMENTS)。这本书是思想和表达方式的不朽之杰作。它以几条明确设定的、不言自明的公设或公理为前提，通过演绎与推理，得到了丰富的、强有力的、甚至惊人的结论。《几何原本》不仅是空间几何与测量科学的好教材，也广泛用于培养与提高学生的逻辑思维能力。两千多年来，尽管期间有发展非常缓慢的阶段，科学已经有了非常大的进展，而欧几里德几何，尽管有些缓慢的拓展与变化，却延续至今。

牛顿的经典力学与万有引力以及麦克斯韦的电磁场理论，均建立在欧几里德几何的基础上。这些理论引入了粒子、场和力的概念，但它们存在的空间却是由欧几里德几何描述的空间。

在欧几里得几何的所有公设中，平行公设似乎不那么令人信服。平行公设说 ：通过一条直线上不同点的两条垂线永远不会相交，但通过这两点的所有其他线都会相交一次。19世纪的数学家发现，如果对平行公设进行修改，而保持其他几个公设不变，就能漂亮地推理出关于曲面几何的正确描述。

德国数学家黎曼则用了更激进的方法。为了描述曲面和高维的超曲面，他提出在小尺度上欧几里德几何总是适用的，因为此时曲率的影响可以忽略不计。而如果要描述大尺度上的空间，必须将局部的几何描述编织在一起。比如，一名高山滑雪运动员在跌宕起伏的山上比赛时会尽力保持直滑下降，但她在整个过程中的滑雪轨迹却是一条曲线。

1905年，爱因斯坦提出了狭义相对论。他的老师闵科夫斯基受到启发，对欧氏几何作了另一种推广。1908年，闵科夫斯基在演讲《空间与时间》 (SPACE AND TIME) 的结尾宣称：“从现在起，孤立的空间与孤立的时间注定将黯然消失，只有两者的某种统一才能保持独立的存在。”但是闵可夫斯基时空仍然植根于欧氏几何。虽然它对平行公设进行了简单的推广，但在固定的时间，其时空的“空间”部分是纯粹的欧几里得空间。直到1915年，类似黎曼对欧几里得空间的修改，爱因斯坦将曲率引入闵可夫斯基时空，建立了广义相对论。

基于弯曲时空的广义相对论非常成功。它为众多远超古希腊人想象的科学预言提供了理论基础，如宇宙膨胀、引力波、以及连接遥远时空的虫洞。然而，爱因斯坦的理论框架依然带着鲜明的欧几里德几何的印记――通过对欧几里得空间进行拓展与修改，纳入了时间和大尺度的曲率。

量子效应似乎破坏了欧几里得空间的核心基础，即空间能够被精细切分并被度规测量的可能性。一把真正的标尺是由原子组成的，而原子是由弥散在空间的电子波函数构成的。后来的数学发展还发现，除了平行公设，其它的欧几里德公设也都并非不证自明。比如，他的连续体很难严格定义 ；如果你能一个一个地数物理空间的点，就像我们在（简化的）数字图像中所做的那样，那就容易多了。

然而，在用来描述基本相互作用的标准模型中，我们依然看见了欧氏几何的身影 ：相对论量子场仍然存在于欧几里德的连续空间中，更准确地说，是存在于爱因斯坦的狭义相对论时空中。我想，这大概就是著名理论物理学家尤金 ・ 维格纳 (EUGENE WIGNER) 所说的“数学在自然科学中不合理的有效性”吧。

蔻享学术平台，国内领先的一站式科学资源共享平台，依托国内外一流科研院所、高等院校和企业的科研力量，聚焦前沿科学，以优化科研创新环境、传播和服务科学、促进学科交叉融合为宗旨，打造优质学术资源的共享数据平台。

版权说明：未经授权严禁任何形式的媒体转载和摘编，并且严禁转载至微信以外的平台！

由于微信公众号试行乱序推送，您可能不再能准时收到墨子沙龙的推送。为了不与小墨失散， 请将“墨子沙龙”设为星标账号，以及常点文末右下角的“在看”。

墨子沙龙是以中国先贤“墨子”命名的大型公益性科普论坛，由中国科学技术大学上海研究院主办，中国科大新创校友基金会、中国科学技术大学教育基金会、浦东新区科学技术协会、中国科学技术协会及浦东新区科技和经济委员会等协办。

墨子是我国古代著名的思想家、科学家，其思想和成就是我国早期科学萌芽的体现，“墨子沙龙”的建立，旨在传承、发扬科学传统，建设崇尚科学的社会氛围，提升公民科学素养，倡导、弘扬科学精神。科普对象为热爱科学、有探索精神和好奇心的普通公众，我们希望能让具有中学同等学力及以上的公众了解、欣赏到当下全球最尖端的科学进展、科学思想。